Wir haben im letzten Video gesehen, dass aus der totalen Differenzierbarkeit einer Funktion

schon folgt, dass diese Funktion auch partiell differenzierbar ist. Und ganz am Anfang dieser

Vorlesungsreihe hatten wir auch schon ein Gegenspiel, das uns gezeigt hat, dass die Umkehrung

nicht gilt. Also nur weil eine Funktion partiell differenzierbar ist, folgt noch nicht, dass diese

total differenzierbar ist. Und der einzige Begriff, den wir jetzt noch einsortieren müssen in diese

Hierarchie von Differenzierbarkeitsbegriffen, ist der Begriff der stetigen partiellen

Differenzierbarkeit. Und Sie erinnern sich, dass wenn wir Stetigkeit gefordert haben bei den

partiellen Ableitungen, da konnten wir einige Probleme wieder wettmachen. Und wir müssen das

Ganze jetzt noch formal einsortieren, sodass wir eine Kette aus Implikation bekommen, die uns

verrät, welcher Differenzierbarkeitsbegriff der stärkste ist und welcher der schwächste. Und wir

fangen an direkt mit einem Satz, der uns nämlich sagt, dass wenn eine Funktion stetig partiell

differenzierbar ist, so ist sie schon total differenzierbar. Und daraus werden wir dann

erkennen, aus der totalen Differenzierbarkeit bekommen wir die Stetigkeit der Funktion selbst

und auch, dass sie partiell ableitbar ist. Das heißt, wir werden sehen, der stärkste

Differenzierbarkeitsbegriff im R

und N ist eben der der stetigen partiellen Differenzierbarkeit. Dazu wollen wir mit folgenden Satz beginnen.

Wir werden den Satz nur für reellwertige Funktionen zeigen, denn ist es klar, dass sich die Argumente,

die wir hier bringen, auf alle Komponenten einer Funktion erweitern lassen, die nicht nur nach R, sondern nach R auch M abbilden.

Und wie immer brauchen wir eine offene Umgebung, U Teilmenge, R auch N, offene Teilmenge.

Und wir betrachten eine reellwertige Funktion, wie gesagt.

Das heißt, wir bilden ab von U nur nach R, nicht nach R auch M.

Und wir fordern von dieser Funktion, dass sie in U partiell differenzierbar ist

und stetig in einem Punkt ist.

Das fordern wir. Und jetzt sagt die Aussage des Satzes, dann ist die Funktion in diesem Punkt total differenzierbar.

Dann ist F in X aus U total differenzierbar.

Wie funktioniert der Beweis?

Das ist das, was wir zeigen wollen. Ich schreibe es vielleicht mal am Anfang hin, damit man nicht die Übersicht verliert innerhalb des Beweises.

Wir wollen zeigen, was benötigen wir für totale Differenzierbarkeit.

Wir schauen uns einen Richtungsvektor Xi an, um den Punkt X herum.

Wir sagen, wenn dieser Richtungsvektor Xi gegen Null geht, dann wollen wir, dass folgender Quotient verschwindet.

Wir zeigen, dass der Limits dieses Richtungsvektors Xi gegen Null für dieses Fehlerfunktional, das hatten wir eingeführt als R von Xi in der Norm,

geteilt durch Xi in der Norm, das muss schnell genug gegen Null gehen.

Und wie war das nochmal definiert, dieses Fehlerfunktional?

Das war im Endeffekt der Funktionswert an der Stelle X plus Xi, also Richtung des Richtungsvektors,

minus den Punkt, in dem wir totale Differenzierbarkeit untersuchen wollen, minus einem linearisierten Anteil L angewendet auf Xi.

Das Ganze teilen wir durch die Norm von Xi.

Und das muss für irgendeinen Linearenoperator L gelten.

Wir werden im Beweis einfach die Jacobi-Matrix nutzen, ohne zu wissen, ob diese das erfüllt, aber es kommt gerade heraus, dass es passt.

Und das Ganze soll gegen Null gehen.

Wenn wir das geschafft haben, dann wissen wir, wir sind total differenzierbar.

Und wie wird der Beweis funktionieren?

Naja, wir werden erstmal uns eine Familie von besonderen Vektoren definieren, die es uns erlaubt, eine Teleskopsumme zu bilden,

sodass wir das Ganze runterbrechen können auf Komponentenweise eindimensionale Funktionen.

Wir werden zeigen, dass das gerade die partiellen Ableitungen ergibt und diese partiellen Ableitungen wegen der Stetigkeit dann gegen die echte partielle Ableitung in den Punkt konvergieren.

Und der lineare Anteil, den wir bekommen werden in unserer Abschätzung, ist gerade die Jacobi-Matrix.

Und das ist so die Idee.

Ich wollte Ihnen das vorher schon mit auf den Weg geben, damit man sich nicht verloren fühlt in dem Beweis,

denn er hat so ein, zwei technische Raffinesse, aber ich versuche sie da langsam durchzuführen.

Das heißt, wie gehen wir vor?

Wir wählen uns jetzt erst mal diesen Punkt, in dem wir totale Differenzierbarkeit erwarten.